ff1588d761d55f48f61a52249e1dcc24

<!DOCTYPE html>

<title>Standardfehler</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Standardfehler</h1>

</header>

</div>

Der Standardfehler oder Stichprobenfehler ist ein <a href="Streuung_(Statistik)" class="mw-redirect" title="Streuung (Statistik)">Streuungsmaß</a> für eine <a href="Sch%C3%A4tzfunktion" title="Schätzfunktion">Schätzfunktion</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\vartheta }}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\vartheta }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/77bfb29b07088548b3791862570fcdc9c91aac60.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.462ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\vartheta }}}" loading="lazy"> für einen unbekannten Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \vartheta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \vartheta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d00eaf197c35bbfa391b9477490a4af955416837.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.374ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \vartheta }" loading="lazy"> der <a href="Grundgesamtheit" title="Grundgesamtheit">Grundgesamtheit</a>. Der Standardfehler ist definiert als die <a href="Standardabweichung_(Wahrscheinlichkeitstheorie)" class="mw-redirect" title="Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)">Standardabweichung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma ({\hat {\vartheta }})={\sqrt {\operatorname {Var} ({\hat {\vartheta }})}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msqrt>

<mover>

</mover>

</mrow>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma ({\hat {\vartheta }})={\sqrt {\operatorname {Var} ({\hat {\vartheta }})}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ee76684a263198c374b7613886459fb7a34f3523.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:17.111ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma ({\hat {\vartheta }})={\sqrt {\operatorname {Var} ({\hat {\vartheta }})}}}" loading="lazy"> der Schätzfunktion, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\vartheta }}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\vartheta }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/77bfb29b07088548b3791862570fcdc9c91aac60.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.462ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\vartheta }}}" loading="lazy">, das heißt also die <a href="Quadratwurzel" title="Quadratwurzel">Quadratwurzel</a> aus der <a href="Varianz_(Stochastik)" title="Varianz (Stochastik)">Varianz</a><a href="#cite_note-1">[1]</a>. In den Naturwissenschaften und der Metrologie wird auch der durch den <a href="GUM_(Norm)" title="GUM (Norm)">GUM</a> geprägte Begriff <a href="Standardunsicherheit" class="mw-redirect" title="Standardunsicherheit">Standardunsicherheit</a> verwendet.

Bei einem <a href="Erwartungstreue" title="Erwartungstreue">erwartungstreuen</a> Schätzer ist daher der Standardfehler ein Maß für die durchschnittliche Abweichung des geschätzten Parameterwertes vom wahren Parameterwert. Je kleiner der Standardfehler ist, desto genauer kann der unbekannte Parameter mit Hilfe der Schätzfunktion geschätzt werden. Der Standardfehler hängt unter anderem ab von

<ul><li>dem Stichprobenumfang und</li>

<li>der Varianz in der Grundgesamtheit.</li></ul>

Allgemein gilt: Je größer der Stichprobenumfang, desto kleiner der Standardfehler; je kleiner die Varianz, desto kleiner der Standardfehler.

Eine wichtige Rolle spielt der Standardfehler auch bei der Berechnung von <a href="Sch%C3%A4tzfehler" title="Schätzfehler">Schätzfehlern</a>, <a href="Konfidenzintervall" title="Konfidenzintervall">Konfidenzintervallen</a> und <a href="Teststatistik" title="Teststatistik">Teststatistiken</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Interpretation">Interpretation</h2></div>

Der Standardfehler liefert eine Aussage über die <a href="Trennsch%C3%A4rfe_eines_Tests" title="Trennschärfe eines Tests">Güte</a> des geschätzten Parameters. Je mehr Einzelwerte es gibt, desto kleiner ist der Standardfehler, und umso genauer kann der unbekannte Parameter geschätzt werden. Der Standardfehler macht die gemessene Streuung (Standardabweichung) zweier Datensätze mit unterschiedlichen Stichprobenumfängen vergleichbar, indem er die Standardabweichung auf den Stichprobenumfang normiert.

Wird mit Hilfe von mehreren Stichproben der unbekannte Parameter geschätzt, so werden die Ergebnisse von Stichprobe zu Stichprobe variieren. Natürlich stammt diese Variation nicht von einer Variation des unbekannten Parameters (denn der ist fix), sondern von Zufallseinflüssen, z. B. Messungenauigkeiten. Der Standardfehler ist die Standardabweichung der geschätzten Parameter in vielen Stichproben. Im Allgemeinen gilt: Für eine Halbierung des Standardfehlers ist eine Vervierfachung des Stichprobenumfangs nötig.

Im Gegensatz dazu bildet die Standardabweichung die in einer <a href="Grundgesamtheit" title="Grundgesamtheit">Grundgesamtheit</a> tatsächlich vorhandene Streuung ab, die auch bei höchster Messgenauigkeit und unendlich vielen Einzelmessungen vorhanden ist (z. B. bei Gewichtsverteilung, Größenverteilung, Monatseinkommen). Sie zeigt, ob die Einzelwerte nahe beieinander liegen oder eine starke Spreizung der Daten vorliegt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiel">Beispiel</h2></div>

Angenommen, man untersucht die Grundgesamtheit von Kindern, die Gymnasien besuchen, hinsichtlich ihrer Intelligenzleistung. Der unbekannte Parameter ist also die mittlere Intelligenzleistung der Kinder, die ein Gymnasium besuchen. Wenn nun zufällig aus dieser Grundgesamtheit eine Stichprobe des Umfanges <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> (also mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> Kindern) gezogen wird, dann kann man aus allen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> Messergebnissen den <a href="Mittelwert" title="Mittelwert">Mittelwert</a> berechnen. Wenn nun nach dieser Stichprobe noch eine weitere, zufällig gezogene Stichprobe mit der gleichen Anzahl von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> Kindern gezogen und deren Mittelwert ermittelt wird, so werden die beiden Mittelwerte nicht exakt übereinstimmen. Zieht man noch eine Vielzahl weiterer zufälliger Stichproben des Umfanges <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">, dann kann die Streuung aller empirisch ermittelten Mittelwerte um den Mittelwert der Grundgesamtheit ermittelt werden. Diese Streuung ist der Standardfehler. Da der Mittelwert der Stichprobenmittelwerte der beste Schätzer für den Mittelwert der Grundgesamtheit ist, entspricht der Standardfehler der Streuung der empirischen Mittelwerte um den Mittelwert der Grundgesamtheit. Er bildet nicht die Intelligenzstreuung der Kinder, sondern die Genauigkeit des errechneten Mittelwerts ab.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notation">Notation</h2></div>

Für den Standardfehler benutzt man verschiedene Bezeichnungen um ihn von der Standardabweichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }" loading="lazy"> der Grundgesamtheit zu unterscheiden und um zu verdeutlichen, dass es sich um die Streuung des geschätzten Parameters von Stichproben handelt:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1e4aeaa7d544d1f21afc8c8993cf5e5625ed8f95.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.546ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{n}}" loading="lazy">,</li>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma ({\hat {\vartheta }})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/31a2618b2ac13ad5792f73a7d15c0ce8192de347.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.601ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \sigma ({\hat {\vartheta }})}" loading="lazy"> oder</li>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{\hat {\vartheta }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/392bb571df20db7903ed1dd8d282bf1593a584e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:2.65ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{\hat {\vartheta }}}" loading="lazy">.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Konfidenzintervalle_und_Tests">Konfidenzintervalle und Tests</h2></div>

Der Standardfehler spielt auch eine wichtige Rolle bei <a href="Konfidenzintervall" title="Konfidenzintervall">Konfidenzintervallen</a> und <a href="Test" title="Test">Tests</a>. Wenn die Schätzfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\vartheta }}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\vartheta }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/77bfb29b07088548b3791862570fcdc9c91aac60.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.462ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\vartheta }}}" loading="lazy"> <a href="Erwartungstreu" class="mw-redirect" title="Erwartungstreu">erwartungstreu</a> und zumindest approximativ <a href="Normalverteilung" title="Normalverteilung">normalverteilt</a> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {N}}(\vartheta ,\sigma ^{2}({\hat {\vartheta }}))}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {N}}(\vartheta ,\sigma ^{2}({\hat {\vartheta }}))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88e881279fe1c6b344f729914324ce59b9d05b24.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.062ex; width:12.209ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {N}}(\vartheta ,\sigma ^{2}({\hat {\vartheta }}))}" loading="lazy">) ist, dann ist

<mfrac>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {{\hat {\vartheta }}-\vartheta }{\sigma ({\hat {\vartheta }})}}\approx {\mathcal {N}}(0;1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bad670e5d535c5c31e9867155d10f915e0d9c50f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:17.054ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {{\hat {\vartheta }}-\vartheta }{\sigma ({\hat {\vartheta }})}}\approx {\mathcal {N}}(0;1)}" loading="lazy">.</dd></dl>

Auf dieser Basis lassen sich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (1-\alpha )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1-\alpha )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1dcc25f05dca60e358d4d22e8342fad5ad7affbb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.3ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (1-\alpha )}" loading="lazy">-<a href="Konfidenzintervall" title="Konfidenzintervall">Konfidenzintervalle</a> für den unbekannten Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \vartheta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \vartheta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d00eaf197c35bbfa391b9477490a4af955416837.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.374ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \vartheta }" loading="lazy"> angeben:

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P({\hat {\vartheta }}-z_{1-\alpha /2}\sigma ({\hat {\vartheta }})\leq \vartheta \leq {\hat {\vartheta }}+z_{1-\alpha /2}\sigma ({\hat {\vartheta }}))=1-\alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5078fd3e162e2750a53c2c7de0ad1e1dcf295cd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:49.739ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle P({\hat {\vartheta }}-z_{1-\alpha /2}\sigma ({\hat {\vartheta }})\leq \vartheta \leq {\hat {\vartheta }}+z_{1-\alpha /2}\sigma ({\hat {\vartheta }}))=1-\alpha }" loading="lazy"></dd></dl>

bzw. Tests formulieren, z. B. ob der Parameter einen bestimmten Wert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \vartheta _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \vartheta _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a2d2fe479bcd30fad9d68cc45a1760ff38de03c9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.428ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \vartheta _{0}}" loading="lazy"> annimmt:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{0}:\vartheta =\vartheta _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e8989bcd03ce838d962fbfa7a618bdc25a3ab038.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.823ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{0}:\vartheta =\vartheta _{0}}" loading="lazy"> vs. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{1}:\vartheta \neq \vartheta _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1}:\vartheta \neq \vartheta _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a25f724557f962fcf70c514e6a81935a1222838.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.823ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle H_{1}:\vartheta \neq \vartheta _{0}}" loading="lazy"></dd></dl>

und die Teststatistik ergibt sich zu:

<mfrac>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V={\frac {{\hat {\vartheta }}-\vartheta _{0}}{\sigma ({\hat {\vartheta }})}}\approx {\mathcal {N}}(0;1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/354c535457c0a39ff976aa607b6241d5b709aaaf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:22.993ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle V={\frac {{\hat {\vartheta }}-\vartheta _{0}}{\sigma ({\hat {\vartheta }})}}\approx {\mathcal {N}}(0;1)}" loading="lazy">.</dd></dl>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{1-\alpha /2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c01063bb39409347638136f9dd229daab24f81cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:6.11ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle z_{1-\alpha /2}}" loading="lazy"> ist das <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (1-\alpha /2)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1-\alpha /2)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/873332b163757e21463cc1fa0994b6a9dc98dc60.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.625ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (1-\alpha /2)}" loading="lazy">-<a href="Quantil_(Wahrscheinlichkeitstheorie)" title="Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)">Quantil</a> der Standardnormalverteilung und sind auch der <a href="Kritischer_Wert_(Statistik)" title="Kritischer Wert (Statistik)">kritische Wert</a> für den formulierten Test. In der Regel muss <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma ({\hat {\vartheta }})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma ({\hat {\vartheta }})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/31a2618b2ac13ad5792f73a7d15c0ce8192de347.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.601ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \sigma ({\hat {\vartheta }})}" loading="lazy"> aus der Stichprobe geschätzt werden, so dass

<mfrac>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V={\frac {{\hat {\vartheta }}-\vartheta _{0}}{{\hat {\sigma }}({\hat {\vartheta }})}}\approx t_{n-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4109f6891942dfc1e167f6a9908f57e04db3eaf6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:19.709ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle V={\frac {{\hat {\vartheta }}-\vartheta _{0}}{{\hat {\sigma }}({\hat {\vartheta }})}}\approx t_{n-1}}" loading="lazy"></dd></dl>

gilt, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> die Anzahl der Beobachtungen ist. Für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\geq 30}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\geq 30}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cd20e537ad9213bf9e1dcfd8aa81c601f8ec682e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.818ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n\geq 30}" loading="lazy"> kann die <a href="Studentsche_t-Verteilung" title="Studentsche t-Verteilung">t-Verteilung</a> durch die Standardnormalverteilung approximiert werden.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Standardfehler_des_arithmetischen_Mittels">Standardfehler des arithmetischen Mittels</h2></div>

Der Standardfehler des <a href="Stichprobenmittel" title="Stichprobenmittel">arithmetischen Mittels</a> ist gleich

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma ({\overline {X}})={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/94efcc4b801f2f7753871036cd8937ff7dbf934f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:12.535ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma ({\overline {X}})={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }" loading="lazy"> die Standardabweichung einer einzelnen Messung bezeichnet.

Der Standardfehler des Mittelwertes kann entweder mit obiger Formel und Schätzung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }" loading="lazy"> berechnet werden, oder direkt mithilfe des <a href="Bootstrapping-Verfahren" title="Bootstrapping-Verfahren">Bootstrapping-Verfahrens</a> oder der <a href="Jackknife-Methode" title="Jackknife-Methode">Jackknife-Methode</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Herleitung">Herleitung</h3></div>

Der Mittelwert einer Stichprobe vom Umfang <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> ist definiert durch

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cc01ef8e2280b89e1416cd02b2b78c6d195a0ec4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:13.679ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Betrachtet man die Schätzfunktion

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4bba8c8160cf89fc97efe65f1c8c47126eded5c1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:14.314ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}" loading="lazy"></dd></dl>

mit <a href="Unabh%C3%A4ngig_und_identisch_verteilte_Zufallsvariablen" title="Unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen">unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ac794f5521dcce89913085a6d566e7cdb615dbb0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.299ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}" loading="lazy"> mit endlicher Varianz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma ^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma ^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/53a5c55e536acf250c1d3e0f754be5692b843ef5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.385ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma ^{2}}" loading="lazy">, so ist der Standardfehler definiert als die Wurzel aus der Varianz von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {X}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {X}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/08fd87d3502c4f9e1b02ac74644474258aeea176.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.131ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {X}}}" loading="lazy">.

Man berechnet unter Verwendung der <a href="Varianz_(Stochastik)#Rechenregeln_und_Eigenschaften" title="Varianz (Stochastik)">Rechenregeln für Varianzen</a> und der <a href="Gleichung_von_Bienaym%C3%A9" title="Gleichung von Bienaymé">Gleichung von Bienaymé</a>:

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma ({\overline {X}})^{2}=\operatorname {Var} \left({\overline {X}}\right)=\operatorname {Var} \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)={\frac {1}{n^{2}}}\operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Var} \left(X_{i}\right)={\frac {1}{n^{2}}}n\sigma ^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0bc154098dbb3ae219127f7265451fcf955c21cb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:93.908ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \sigma ({\overline {X}})^{2}=\operatorname {Var} \left({\overline {X}}\right)=\operatorname {Var} \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)={\frac {1}{n^{2}}}\operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Var} \left(X_{i}\right)={\frac {1}{n^{2}}}n\sigma ^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}}" loading="lazy"></dd></dl>

woraus die Formel für den Standardfehler folgt. Falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Var} (X_{i})=\sigma _{i}^{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Var} (X_{i})=\sigma _{i}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8ff47263edbd2c30db08cf8f0476cd0cbb7194e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.834ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Var} (X_{i})=\sigma _{i}^{2}}" loading="lazy"> gilt, so folgt analog

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma ({\overline {X}})^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13b9fb654a27a85b0c74064c498de003011de538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:19.222ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma ({\overline {X}})^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Schätzung_von_σ">Schätzung von σ</h3></div>

Da in den Standardfehler die Standardabweichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }" loading="lazy"> der Grundgesamtheit eingeht, muss für eine Schätzung des Standardfehlers die Standardabweichung in der Grundgesamtheit mit einem möglichst erwartungstreuen Schätzer derselben geschätzt werden.

Unterstellt man eine Stichprobenverteilung, so kann der Standardfehler anhand der Varianz der Stichprobenverteilung berechnet werden:

<ul><li>bei der <a href="Binomialverteilung" title="Binomialverteilung">Binomialverteilung</a> mit Parametern <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N,\,p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N,\,p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/386b7f33a1fc8ed9bae1b55d0b963e0c27f4e9fc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.654ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle N,\,p}" loading="lazy"></li></ul>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{{\bar {x}},\mathrm {binom} }={\frac {\sqrt {N\cdot p\cdot (1-p)}}{\sqrt {n}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cb43c6060e80d7c8210b490b42b9c133d6b204b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:27.27ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{{\bar {x}},\mathrm {binom} }={\frac {\sqrt {N\cdot p\cdot (1-p)}}{\sqrt {n}}}}" loading="lazy">,</dd></dl>

<ul><li>bei der <a href="Exponentialverteilung" title="Exponentialverteilung">Exponentialverteilung</a> mit Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy"> (Erwartungswert = Standardabweichung = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1/\lambda }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1/\lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1add931eabb9aec89275acb2f50d50428010b0fe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.68ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 1/\lambda }" loading="lazy">):</li></ul>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{{\bar {x}},\mathrm {exp} }={\frac {1}{\lambda {\sqrt {n}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/556a62c8cd8767e3f3492eddcaa6becd3ef24c55.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:14.095ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{{\bar {x}},\mathrm {exp} }={\frac {1}{\lambda {\sqrt {n}}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<ul><li>und bei der <a href="Poisson-Verteilung" title="Poisson-Verteilung">Poisson-Verteilung</a> mit Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy"> (Erwartungswert = Varianz = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy">):</li></ul>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

<mfrac>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{{\bar {x}},\mathrm {poisson} }={\sqrt {\frac {\lambda }{n}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/32f8c67ba9571a4ed73e5b0abc94ff9a85222427.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:15.841ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{{\bar {x}},\mathrm {poisson} }={\sqrt {\frac {\lambda }{n}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Dabei bezeichnen

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{{\bar {x}},\mathrm {binom} },\sigma _{{\bar {x}},\mathrm {exp} },\sigma _{{\bar {x}},\mathrm {poisson} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b897697f507d120acd61a791062abb1474e6740a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:23.169ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{{\bar {x}},\mathrm {binom} },\sigma _{{\bar {x}},\mathrm {exp} },\sigma _{{\bar {x}},\mathrm {poisson} }}" loading="lazy"> die Standardfehler der jeweiligen Verteilung, und</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> den Stichprobenumfang.</li></ul>

Soll der Standardfehler für den Mittelwert geschätzt werden, dann wird die Varianz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma ^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma ^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/53a5c55e536acf250c1d3e0f754be5692b843ef5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.385ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma ^{2}}" loading="lazy"> mit der <a href="Korrigierte_Stichprobenvarianz" class="mw-redirect" title="Korrigierte Stichprobenvarianz">korrigierten Stichprobenvarianz</a> geschätzt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiel_2">Beispiel</h3></div>

Für die Eiscreme-Daten<a href="#cite_note-krk-2">[2]</a><a href="#cite_note-icecream-3">[3]</a> wurde für den Pro-Kopf-Verbrauch von Eiscreme (gemessen in <a href="Pinte" title="Pinte">Pint</a>) das arithmetische Mittel, dessen Standardfehler und die Standardabweichung für die Jahre 1951, 1952 und 1953 berechnet.

<th>Jahr

</th>

<th>Mittelwert

</th>

<th>Standardfehler des Mittelwerts

</th>

<th>Standard- abweichung

</th>

<th>Anzahl der Beobachtungen

</th></tr>

<tr>

<td>1951

</td>

<td>0,34680

</td>

<td>0,01891

</td>

<td>0,05980

</td>

<td>10

</td></tr>

<tr>

<td>1952

</td>

<td>0,34954

</td>

<td>0,01636

</td>

<td>0,05899

</td>

<td>13

</td></tr>

<tr>

<td>1953

</td>

<td>0,39586

</td>

<td>0,03064

</td>

<td>0,08106

</td>

<td>7

</td></tr></tbody></table>

Für die Jahre 1951 und 1952 sind die geschätzten Mittelwerte und Standardabweichungen sowie die Beobachtungszahlen etwa gleich. Deswegen ergeben die geschätzten Standardfehler auch etwa den gleichen Wert. Im Jahr 1953 sind zum einen die Beobachtungszahlen geringer als auch die Standardabweichung größer. Daher ist der Standardfehler fast doppelt so groß wie die Standardfehler aus den Jahren 1951 und 1952.

Die grafische Darstellung kann mittels eines <a href="Fehlerbalkendiagramm" class="mw-redirect" title="Fehlerbalkendiagramm">Fehlerbalkendiagramms</a> erfolgen. Rechts werden die 95-%-Schätzintervalle für die Jahre 1951, 1952 und 1953 dargestellt. Wenn die <a href="Stichprobenfunktion" title="Stichprobenfunktion">Stichprobenfunktion</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\bar {X}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\bar {X}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/90b968141b314f4de17f5e63f18dcdc126352bac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\bar {X}}}" loading="lazy"> zumindest approximativ normalverteilt ist, dann sind die 95-%-Schätzintervalle gegeben durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\bar {x_{j}}}\pm 1{,}96\cdot s_{j}/{\sqrt {n_{j}}}}">

<mover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msqrt>

<msub>

</mrow>

</msub>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\bar {x_{j}}}\pm 1{,}96\cdot s_{j}/{\sqrt {n_{j}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dbce7400e203c4d36755a4d9612bfc71f9e69645.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:18.296ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\bar {x_{j}}}\pm 1{,}96\cdot s_{j}/{\sqrt {n_{j}}}}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j=1951,1952,1953}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j=1951,1952,1953}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/691b9a97662d9b97246f9ad937ea4992a4a1e930.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.027ex; width:20.101ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle j=1951,1952,1953}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\bar {x}}_{j}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\bar {x}}_{j}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dbd27a85a9a24ada3c6e9742e788cc74447f266b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.239ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\bar {x}}_{j}}" loading="lazy"> die Stichprobenmittelwerte und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s_{j}^{2}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s_{j}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/05f092299e90921bc487f78cf49ff3dc58d9c32e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:2.145ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle s_{j}^{2}}" loading="lazy"> die Stichprobenvarianzen.

Auch hier sieht man deutlich, dass der Mittelwert 1953 ungenauer geschätzt werden kann als die Mittelwerte von 1951 und 1952 (längerer Balken für 1953).

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Endlich_große_Population">Endlich große Population</h3></div>

Bei einer endlich großen Population mit Größe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> und Stichprobengröße <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">

ist die Varianz des geschätzten Mittelwertes<a href="#cite_note-4">[4]</a>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Var} \left({\frac {1}{n}}\sum _{i}X_{i}\right)={\frac {1}{n}}\left(1-{\frac {n}{N}}\right)\sigma ^{2}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8d7ceefdb985b41f1c9eda397170fcfc01c17dde.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:35.396ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Var} \left({\frac {1}{n}}\sum _{i}X_{i}\right)={\frac {1}{n}}\left(1-{\frac {n}{N}}\right)\sigma ^{2}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Varianz des Mittelwert-Schätzers ist somit Null, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/78fd6116383f2004f7dd59ff8a81ede1c2f6d3ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.557ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=N}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Standardfehler_der_Regressionskoeffizienten_im_einfachen_Regressionsmodell">Standardfehler der Regressionskoeffizienten im einfachen Regressionsmodell</h2></div>

Im <a href="Klassisches_lineares_Modell" class="mw-redirect" title="Klassisches lineares Modell">klassischen Regressionsmodell</a> für die <a href="Einfache_lineare_Regression" class="mw-redirect" title="Einfache lineare Regression">einfache lineare Regression</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}+\varepsilon _{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}+\varepsilon _{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b31a9ceae6cccf57824b8d73b717066573ce8dd5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.682ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}+\varepsilon _{i}}" loading="lazy"> wird vorausgesetzt, dass

<ul><li>die <a href="St%C3%B6rterm" class="mw-redirect" title="Störterm">Störterme</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{i}\sim \,(0,\sigma ^{2})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{i}\sim \,(0,\sigma ^{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/afe668cc8fe137370015b4c543b1f5f45bb5485d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.759ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{i}\sim \,(0,\sigma ^{2})}" loading="lazy"> <a href="Normalverteilung" title="Normalverteilung">normalverteilt</a> sind,</li>

<li>die Störterme unabhängig sind und</li>

<li>die Werte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e87000dd6142b81d041896a30fe58f0c3acb2158.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.129ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{i}}" loading="lazy"> fix sind (also keine Zufallsvariablen),</li></ul>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i=1,\ldots ,n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i=1,\ldots ,n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a5726d00b79af1b4666a6319c45381579dc85a9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.636ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle i=1,\ldots ,n}" loading="lazy"> die gemachten Beobachtungen durchläuft. Für die <a href="Sch%C3%A4tzfunktion" title="Schätzfunktion">Schätzfunktionen</a>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

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</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}={\frac {\sum _{i}(x_{i}-{\overline {x}})(Y_{i}-{\overline {Y}})}{\sum _{i}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d4cee9287dd4099a466c7e6c52f49cdcc8750cb4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:26.88ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}={\frac {\sum _{i}(x_{i}-{\overline {x}})(Y_{i}-{\overline {Y}})}{\sum _{i}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}" loading="lazy"> und</dd></dl>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}={\overline {Y}}-{\hat {\beta }}_{1}{\overline {x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88844fd5b28d992a32bb9a18592e4ee58d1b0df9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.558ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}={\overline {Y}}-{\hat {\beta }}_{1}{\overline {x}}}" loading="lazy"></dd></dl>

ergibt sich dann

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}\sim {\mathcal {N}}(\beta _{1},\sigma _{{\hat {\beta }}_{1}}^{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47778628bf7ca8a21ac4f6654a7a808b3ec7aaf1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:16.566ex; height:4.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}\sim {\mathcal {N}}(\beta _{1},\sigma _{{\hat {\beta }}_{1}}^{2})}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}\sim {\mathcal {N}}(\beta _{0},\sigma _{{\hat {\beta }}_{0}}^{2})}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}\sim {\mathcal {N}}(\beta _{0},\sigma _{{\hat {\beta }}_{0}}^{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e02212a7fe3ae0d44659a93f4d269db104e78422.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:16.566ex; height:4.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\beta }}_{0}\sim {\mathcal {N}}(\beta _{0},\sigma _{{\hat {\beta }}_{0}}^{2})}" loading="lazy">.</dd></dl>

Die <a href="Standardfehler_des_Regressionskoeffizienten" title="Standardfehler des Regressionskoeffizienten">Standardfehler der Regressionskoeffizienten</a> ergeben sich zu

<msub>

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<mover>

</mover>

</mrow>

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</mrow>

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</munder>

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</mrow>

</munder>

</msqrt>

</mrow>

<msqrt>

<msub>

</mrow>

</msub>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{{\hat {\beta }}_{1}}=\operatorname {SD} ({\hat {\beta }}_{1})=\sigma {\sqrt {\underbrace {\frac {1}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}} _{=:a_{1}}}}=\sigma \cdot {\sqrt {a_{1}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92e3a5e1985b849a877ecec9dae3a2476761f243.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.505ex; width:46.633ex; height:10.509ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{{\hat {\beta }}_{1}}=\operatorname {SD} ({\hat {\beta }}_{1})=\sigma {\sqrt {\underbrace {\frac {1}{\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}} _{=:a_{1}}}}=\sigma \cdot {\sqrt {a_{1}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

und

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</mrow>

</munder>

</msqrt>

</mrow>

<msqrt>

<msub>

</mrow>

</msub>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{{\hat {\beta }}_{0}}=\operatorname {SD} ({\hat {\beta }}_{0})=\sigma {\sqrt {\underbrace {\frac {\sum \nolimits _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}{n\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}} _{=:a_{0}}}}=\sigma \cdot {\sqrt {a_{0}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1c2a63abf8cc98faa43b579572af14956322e168.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.505ex; width:48.415ex; height:11.176ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{{\hat {\beta }}_{0}}=\operatorname {SD} ({\hat {\beta }}_{0})=\sigma {\sqrt {\underbrace {\frac {\sum \nolimits _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}{n\sum \nolimits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}} _{=:a_{0}}}}=\sigma \cdot {\sqrt {a_{0}}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Beispiel: Für die Eiscreme-Daten<a href="#cite_note-krk-2">[2]</a><a href="#cite_note-icecream-3">[3]</a> wurde für den Pro-Kopf-Verbrauch von Eiscreme (gemessen in halbe Liter) eine einfache lineare Regression mit der mittleren Wochentemperatur (in Fahrenheit) als unabhängige Variable durchgeführt. Die Schätzung des Regressionsmodells ergab:

<mtext>Pro-Kopf-Verbrauch</mtext>

</mrow>

<mtext>Temperatur</mtext>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{Pro-Kopf-Verbrauch}}=0{,}20686+0{,}00311\cdot {\text{Temperatur}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7a98e3ebb66ff421a5bb0b6cb1c3297cf39fb6bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:55.867ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\text{Pro-Kopf-Verbrauch}}=0{,}20686+0{,}00311\cdot {\text{Temperatur}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

<th>Modell

</th>

<th colspan="2">Nicht standardisierte Koeffizienten

</th>

<th rowspan="2">Standardisierte Koeffizienten

</th>

<th>T

</th>

<th>Sig.

</th></tr>

<tr>

<th>

</th>

<th>Regressionskoeffizienten

</th>

<th>Standardfehler

</th>

<th>

</th>

<th>

</th></tr>

<th style="text-align:left">Konstante

</th>

<td>0,20686

</td>

<td>0,02470

</td>

<td>

</td>

<td>8,375

</td>

<td>0,000

</td></tr>

<th style="text-align:left">Temperatur

</th>

<td>0,00311

</td>

<td>0,00048

</td>

<td>0,776

</td>

<td>6,502

</td>

<td>0,000

</td></tr></tbody></table>

Zwar ist der geschätzte Regressionskoeffizient für die mittlere Wochentemperatur sehr klein, jedoch ergab der geschätzte Standardfehler einen noch kleineren Wert. Die Genauigkeit, mit der der Regressionskoeffizient geschätzt wird, ist gut 6,5 mal so klein wie der Koeffizient selbst.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zusammenhang_mit_der_Log-Likelihood">Zusammenhang mit der Log-Likelihood</h2></div>

<div class="sieheauch" role="navigation" style="font-style:italic;">Siehe auch: <a href="Sch%C3%A4tzung_der_Varianz_einer_Sch%C3%A4tzfunktion" title="Schätzung der Varianz einer Schätzfunktion">Schätzung der Varianz einer Schätzfunktion</a></div>

Der Ausdruck

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

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<mfrac>

<msqrt>

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<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma ({\hat {\theta }}_{ML})={\frac {1}{\sqrt {-{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\ell ({\hat {\theta }}_{ML})}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ad3112452ed5fe7872896f659e48a9d43bff82f5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:26.224ex; height:9.343ex;" alt="{\displaystyle \sigma ({\hat {\theta }}_{ML})={\frac {1}{\sqrt {-{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\ell ({\hat {\theta }}_{ML})}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

wird auch als Standardfehler des <a href="Maximum-Likelihood-Sch%C3%A4tzung" class="mw-redirect" title="Maximum-Likelihood-Schätzung">Maximum-Likelihood-Schätzers</a> bezeichnet, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell (\cdot )=\log {\mathcal {L}}(\cdot )}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell (\cdot )=\log {\mathcal {L}}(\cdot )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f6723082a7da848afff9cec80936ed2bd8674aff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.943ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ell (\cdot )=\log {\mathcal {L}}(\cdot )}" loading="lazy"> die <a href="Log-Likelihood-Funktion" class="mw-redirect" title="Log-Likelihood-Funktion">Log-Likelihood-Funktion</a> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\ell ({\hat {\theta }}_{ML})}">

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\ell ({\hat {\theta }}_{ML})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/def2ada30d9ed5115a5a8c73c235cc8d1e49c694.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:13.32ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle -{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\ell ({\hat {\theta }}_{ML})}" loading="lazy"> die beobachtete <a href="Fisher-Information" title="Fisher-Information">Fisher-Information</a> darstellt (die Fisher-Information an der Stelle des ML-Schätzers <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\theta }}_{ML}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\theta }}_{ML}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c594094623528454828b168f9c4ddeee6e78a92b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.434ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\theta }}_{ML}}" loading="lazy">).<a href="#cite_note-Loglikelihood_and_Confidence_Intervals-5">[5]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Standardfehler_der_Regression" title="Standardfehler der Regression">Standardfehler der Regression</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Eric W. Weisstein: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/StandardError.html">Standard Error.</a> Abgerufen am 7. November 2021 (englisch).<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AStandardfehler&rft.title=Standard+Error&rft.description=Standard+Error&rft.identifier=https%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FStandardError.html&rft.creator=Eric+W.+Weisstein&rft.language=en">

</li>

<li id="cite_note-krk-2">↑ <a href="#cite_ref-krk_2-0">a</a> <a href="#cite_ref-krk_2-1">b</a> Koteswara Rao Kadiyala (1970): Testing for the independence of regression disturbances. In: Econometrica, 38, 97–117.

</li>

<li id="cite_note-icecream-3">↑ <a href="#cite_ref-icecream_3-0">a</a> <a href="#cite_ref-icecream_3-1">b</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://lib.stat.cmu.edu/DASL/Datafiles/IceCream.html">Eiscreme Daten.</a> In: Data and Story Library, abgerufen am 16. Februar 2010

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Quenouille, M. (2014). Introductory Statistics. Niederlande: Elsevier Science. <a rel="nofollow" class="external free" href="https://books.google.de/books?id=anHiBQAAQBAJ&pg=PA208">https://books.google.de/books?id=anHiBQAAQBAJ&pg=PA208</a>

</li>

<li id="cite_note-Loglikelihood_and_Confidence_Intervals-5"><a href="#cite_ref-Loglikelihood_and_Confidence_Intervals_5-0">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://personal.psu.edu/abs12//stat504/online/01b_loglike/01b_loglike_print.htm">Supplement: Loglikelihood and Confidence Intervals.</a> Abgerufen am 14. Juli 2021.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AStandardfehler&rft.title=Supplement%3A+Loglikelihood+and+Confidence+Intervals&rft.description=Supplement%3A+Loglikelihood+and+Confidence+Intervals&rft.identifier=http%3A%2F%2Fpersonal.psu.edu%2Fabs12%2F%2Fstat504%2Fonline%2F01b_loglike%2F01b_loglike_print.htm">

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>